в Опционы

Определяем оптимальный размер позиции по опциону через критерий Келли

Автор: Александр Кургузкин (mehanizator).

Допустим, мы построили модель для оценки стоимости опциона, и она выдает нам оценку m, а в терминале мы видим цену на опцион p. Очевидно, есть торговая возможность, но встает вопрос – какой частью портфеля нужно входить в позицию?

Как всегда на помощь приходит критерий Келли. Попробуем вывести оценку оптимальной позиции, но для начала упростим нашу ситуацию до бинарной игры с фиксированными по размеру исходами. Представим, что в нашей игре возможны только два варианта – убыток и выйгрыш, причем их размер не меняется на протяжении игры, и вероятность убытка равна вероятности выйгрыша.

Читаем известную работу Торпа (Thorp):

“Критерий Кэлли может легко быть расширен на игры с неравными выплатами. Предположим, Игрок А выигрывает b единиц на каждую единицу ставки. Далее предположим, что на каждой попытке вероятность победы p> 0 и pb – q> 0, так что игра выгодна для Игрока А. Методы, подобные рассмотренным, могут использоваться для максимизации

Вычисления дают f* = (bp – q)/b, оптимальную долю текущего капитала, которая должна быть поставлена в каждой игре, чтобы максимизировать коэффициент роста g(f).”

Теперь надо понять каков в нашем случае b, то есть отношение прибыльной ставки к убыточной.

Допустим, мы покупаем опцион. Убыток в нашей игре, очевидно, равен рыночная цене опциона p. В худшем случае мы тратим деньги на опцион и ничего не получаем взамен. Каков же размер “выгрыша”? Он заложен в нашей оценке стоимости опциона. Справедливая оценка цены опциона равна среднему между возможным выйгрышем и возможным проигрышем.

Пусть: модельная оценка цены = m, рыночная цена = p, выигрыш = g

Получаем:

m = (g + p)/2

g = 2m – p

b = g/p = (2m – p)/p

Итак, учитывая, что в формуле для f* p=q=0.5, получаем:

f* = (b – 1) / 2b = (2m – 2p)/(2(2m – p)) = (m – p)/(2m – p)

А теперь найдем формулу для случая продажи опциона. В этом случае известен размер выйгрыша (рыночная цена опциона), а размер убыточной ставки s получаем из модельной оценки:

m = (s + p)/2

s = 2m – p

b = p/s = p/(2m – p)

f* = (b – 1) / 2b = (p – (2m-p)) / 2p = (p – m) / p

Лучше использовать не полный Келли, а от 0.25 до 0.5 Келли, такая заниженная оценка будет более толерантна к рискам.

Таким образом, формулы для оптимальной доли капитала R, вложенной в опционы, таковы:

Покупка опциона: R = k * (m-p)/(2m-p)

Продажа опциона: R = k * (p-m)/p

где m – модельная оценка цены, p – рыночная цена, k = 0.25-0.5 в зависимости от вашей склонности к риску.

Пример.

Модель дает оценку опциона в 0.6, в терминале вы видите цену 0.35. Сколько брать?

m = 0.6, p = 0.35, k=0.33

R = 0.33 * (0.6 – 0.35) / (1.2 – 0.35) = 0.33 * 0.25 / 0.85 = 0.097

То есть можно позволить себе потратить на покупку опционов 10% капитала.

Автор: mehanizator

Комментарии:

Andrew Kartashov: О, спасибо. Как раз сейчас на опциках думаю построить. Вообще крайне полезный сайт, все что мне нужно – тут есть уже =)

Andrew Kartashov: Щас голову включу и подумаю как сделать теперь перестроение позы. То есть когда позы нет – все выше описано. А когда она уже есть, хочется ее перестроить, чтобы она соответствовала новой ситуации, если требуется перестроение, конечно.

mehanizator: логически рассуждая – надо закрыть позу и вернуться к задаче когда позы нет 🙂