в Волатильность

Зависимость моментов распределения ценовых изменений от волатильности для S&P 500

Автор: Александр Кургузкин (mehanizator).

Если посмотреть на динамику моментов распределения по годам, можно заметить, что в периоды низкой волатильности ассимметрия и эксцесс близки к нулю, а заметными они становятся в годы рыночной турбулентности. Было бы интересно взглянуть на зависимость моментов распределения от волатильности.

Для каждой даты в прошлом у нас есть значение прошлой волатильности за 21 торговый день (календарный месяц) и значение логарифма будущего изменения на месяц вперед, нормированное на прошлую волатильность. Ранжируем массив по значению прошлой волатильности, дальше проходимся по полученному массиву окном в 252 бара и считаем моменты распределения внутри этого окна.

Данные по индексу S&P 500 берем с 1994 года, получается 4870 значений. По горизонтальной оси – логарифм прошлой волатильности. Вот что получается:

Среднее:

Стандартное отклонение:

Ассимметрия:

Эксцесс:

Красными линиями приведены модели регрессии:

mean = -0.0228 – 0.0337 * x, r: -0.2886

sigm = +0.1642 – 0.0676 * x, r: -0.7489

skew = -1.1147 – 0.1846 * x, r: -0.2652

kurt = +3.3238 + 1.1755 * x, r: +0.4602

где x – логарифм прошлой волатильности.

 

Интерпретируем полученные картинки

Зависимость матожидания от волатильности это известный stylized fact, который называется “эффект плеча” – цены склонны расти при невысокой волатильности и падать при высокой.

Зависимость стандартного отклонения будущих изменений (то есть фактически будущей волатильности) от прошлой – отражение цикличности волатильности, ее тенденции возвращаться к среднему. Низкая волатильность влечет расширение волатильности, высокая – сокращение волатильности.

Ну, и зависимость ассимметрии и эксцесса от волатильности наверное комментариев не требует. Чем выше волатильность, тем более распределение кривое и хвостатое.

Итак, у нас есть модели для моментов распределений, теперь можно по этим моментам восстанавливать распределение, например Johnson SU/SB, и считать цены опционов.

Автор: mehanizator