Автор: Eduard Grigoryan.
Как отмечалось рядом исследователей обычно рассчитанная дельта не сводит к минимуму дисперсию (мера разброса случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания) изменений в стоимости позиции трейдера. Это связано с ненулевой корреляцией между изменениями цены базового актива и изменениями волатильности актива. Дельта минимальной дисперсии учитывает как изменения цен, так и ожидаемое изменение волатильности, обусловленное изменениями цены. Настоящая работа эмпирически определяет модель минимальной дельта-дисперсии. Мы тестируем модель, используя данные по опционам на S&P500, и показываем, что это улучшение по сравнению со стохастическими моделями волатильности, даже если последние колибруются каждый день для каждого срока погашения. Мы также представляем результаты по опционам на S&P100, DowJones, отдельных акций, а также ETF с товарными и процентными ставками.
Введение
Учебный подход к уравлению риском в портфеле опционом включает в себя определение модели оценки и затем вычисление частных производных цен опционов по отношению к лежащим в их основе стохастическим переменным. Самые популярные модели оценки основаны на предположениях, сделанных Блэком-Шоулзом и Мертоном (1973). Когда параметры хеджирования (греки) рассчитываются из этих моделей обычная рыночная практика заключается в том, чтобы установить параметры волатильности равные подразумеваемой волатильности (implied vol.). Это иногда называют использование практикующей модели БШ. Например, практическое применение модели БШ при расчете дельты опциона является взятие частной производной от цены опциона по отношению к цене базового актива с другими переменными, включая подразумеваемую волатильность.
Дельта безусловно является самым важным параметром хеджирования и к счастью её легче всего отрегулировать, поскольку она требует только торговли базовым активом. С момента рождения биржевых рынков опционов в 1973 году дельта-хеджирование сыграло важную роль в управлении портфелями опционов. Опционные трейдеры часто корректируют дельту, делая её близкой к нулю, торгуя базовым активом.
Несмотря на то, что модель Блэка-Шоулза -Мертона предполагает постоянство волатильности участники рынка обычно рассчитывают вегу, основанную на IV для измерения и анализа воздействия волатильности. Вега является частной производной от цены опциона в отношении IV, при этом все остальные переменные, включая цену актива, остаются неизменными. Этот подход, хоть и не основанный на изначальной модели, имеет преимущество в виде простоты. Цена опциона в любой момент времени при качественной апроксимации является детерминированной функцией цены базового актива и подразумеваемой волатильности. Разложение в ряд Тейлора (разложение функции в бесконечную сумму степенных функций) показывает, что принимаемые риски можно оценить, отслеживая изменения этих двух параметров. Это условие выполнимо в случаях, если мы не учитываем неопределенность, связанную с процентными ставками и дивидендами. Ряд исследователей реализовали модели стохастической волатильности и использовали допущения моделей для преобразования обычной дельты в дельта MV (min var). Они обнаружили, что это приводит к улучшению показателей дельта-хеджирования, особенно для опционов «вне денег». Исследователи опираются на статью Бакши в 1997 году, которые реализовали три различные модели стохастической волатильности, используя данные по опционам колл на S&P500 в период с сентября 1993 года по август 1995 год, исследование Ногуэры и его коллег 2007 года, которые рассматривали эффективность хеджирования шестью различными моделями с использованием опционов пут и колл на торгах S&P500 в 2007 году и исследование команды Поулсона, которые рассмотрели данные по опционам на S&P500, опционам на индекс Eurostoxx, и опционам на курс доллара по отношению к евро за период с 2004 по 2008 год. Так, Бартлетт показывает, как хеджирование с минимальной дисперсией можно использоватьв сочетании с моделью стохастической волатильности SABR, предложенной Хейгеном в 2002 году.
Эта статья отличается от выше упомянутых исследований тем, что она не основана на моделях стохастической волатильности. По духу она схожа со статьями как Crépey (2004), Vähämaa (2004) и Alexander et al (2012). Эти авторы отмечают, что дельта минимальной дисперсии представляет собой дельту Блэка-Шоулза плюс используемую вегу по Блэку-Шоулзу, умноженную на частную производную ожидаемой подразумеваемой волатильности относительно цены актива. Поэтому для усиления дельты требуется предположение о частной производной ожидаемой подразумеваемой волатильности относительно цены актива. Crépey (2004) и Vähämaa (2004) установили, что частная производная равна или близка к отрицательному наклону улыбки волатильности, как это предполагает модель локальной волатильности. Alexander et al (2012) основываются на исследовании Derman (1999) и тестируют восемь различных моделей для частной производной, включая модели с переключениями режимов.
Эта статья расширяет предыдущие исследования, эмпирически определяя модель для частной производной функции ожидаемой подразумеваемой волатильности относительно цены актива. Мы показываем, что когда базовым активом является S&P500, эта частная производная представляет собой при хорошей апроксимации квадратичную функцию дельты Блэка-Шоулза, деленную на произведение цены актива и квадратичного корня от времени до экспирации. Это приводит к простой модели, в которой дельта MV рассчитывается от текущей дельты, веги Блэка-Шоулза, цены актива и времени до погащения. Мы показываем, что прибыль от хеджирования путем апроксимации дельты MV таким образом лучше, чем дельта, полученная на основе моделей стохастической волатильности. Результаты имеют практическое значение для трейдеров, многие из которых всё ещё основывают свое решение на модели Блэка-Шоулза. Прибыль, полученная от хеджирования по нашей модели была такая же устойчивая на других индексах, как и на S&P500. Этот подход также привел к получению определенного преимущества на опционах по ETF и акциях, но не столь явное.
Структура остальной статьи такова. Сначада мы обсудим данные, которые мы используем. Во-вторых мы разработаем теорию, которая позволит нам параметризировать эволюцию подразумеваемой волатильности опционов. Затем теория внедряется и проводится бэктестовый анализ на тестовой выборке на опционах на S&P500. Результаты сравниваются с результатами стохастической волатильности и моделями локальной волатильности. По результатам бэктеста мы проводим анализ по другим индексам и опционам на отдельные акции и ETF.
Optimal Delta Hedging for Options
John Hull and Alan White
П.С. Статья большая, поэтому порядок действий такой. Сначала закончу перевод статьи, потом отдельной статьей приведу свои собственные мысли и результаты бэктестирования относительно недавно вышедшего исследования Джона Халла.